<<
>>

Несколько периодов: европейский колл-опцион

Когда цена акции может принимать лишь одно из двух возможных значений, поток платежей от колл-опциона можно воспроизвести при помощи портфеля, состоящего из акций и безрисковых активов.
Когда число возможных значений цены больше двух, непосредственное воспроизведение, вообще говоря, невозможно. Однако можно рассмотреть процесс изменения цен, состоящий из нескольких периодов, где в каждом периоде используется уже рассмотренная биномиальная модель. Полагая число периодов достаточно большим, а длину периода достаточно малой, можно получить много возможных состояний (возможных значений цены) на финише. В пределе этого процесса получается модель Блэка—ПГоулза для цен на опционы.

Общая формулировка двухпериодной задачи такова.

S = текущая цепа акции,

С = цена на колл-опцион, подлежащая определению. Предположим, что в конце первого периода цена может принимать два значения:

Su — высокая цена акции в конце периода 1 (состояние II),

Sd — низкая цена акции в конце периода 1 (состояние L).

Предположим, что в конце второго периода для каждого из состояний (II и L) снова возможны два значения цепы:

Suu = высокая цепа акции в конце периода 2

при высокой цепе акции в конце периода 1; Sud — низкая цепа акции в конце периода 2

при высокой цепе акции в конце периода /; Sdu = высокая цена акции в конце периода 2

при низкой цене акции в конце периода./;

Sud = низкая цепа акции в конце периода 2

при низкой цене акции в конце периода 1.

Возможные траектории цеп представлены на следующей диаграмме:

Цена акции Suu

ff

Обозначим X = цена исполнения,

г = 1 + безрисковый процент на активы

за один период

(одинаков для обоих периодов).

Терминальные значения для колл-опционов таковы:

Си и — max{0,5'uu — X},

Cud — max {0, Sud — X},

Cdu = max{0,5du — A'},

Cdd = maxjO^drf— A},

где предполагается, что Suu> X (в противном случае опцион никогда не исполняется и цена его равна нулю).

В начале периода 2 мы знаем, как найти цену опциона на этот период, так как эту задачу мы уже решали. Пусть Си — цена колл-опциона, а ки — коэффициент полного хеджирования при условии, что в периоде 1 цена выросла (реализовалось состояние II):

Си — Su/ки — (Suu — киСии)/киг, где ки = (Suu — Sud)/(CUU — Cud)-

Аналогично выражается Cd ¦

Но тогда через Си и Cd можно выразить значение С — цену колл-опциона в начале периода 1:

С = S/k — (Su — kCu)/kr, где k=(Su-Sd)/(Cu-Cd).

Разница между этими формулами и аналогичными формулами для задачи на один период состоит в том, что Си и Cd

получены на основе информации о периоде 2 вместо прямого вычисления по формуле максимума.

Двухпериодную модель можно расширить на любое число периодов.

При этом коэффициенты и и d, а также ставка процента г могут меняться от периода к периоду. Хотя на каждом шаге цена акции может принимать лищь два значения, при большом числе периодов можно аппроксимировать достаточно плавно изменяющуюся цену. Например, если опционы исполняются в конце торгового дня, “периодом” можно считать одии час (соответственно подобрав величины и, d и г). Если до конца дня остается 7 часов, то финальная цена акции, в соответствии с многопериодной биномиальной моделью, может иметь 27 = 128 значений.

Далее мы совершим предельный переход, когда число периодов бесконечно увеличивается, а длительность одного периода становится бесконечно малой. А сейчас рассмотрим прием, называемый нейтральной к риску оценкой (risk-neutral probability) и упрощающий этот предельный переход, приводящий к формуле Блэка—НГоулза.

<< | >>
Источник: Дж.О‘Брайен, С.Шривастава. Финансовым анализ и торговля ценными бумагами. 1995

Еще по теме Несколько периодов: европейский колл-опцион:

  1. Взаимосвязь “пут—колл” для европейских опционов
  2. Пример оценки европейского однопериодного колл-опциона
  3. Биномиальная модель цены: европейский однопериодный колл-опцион
  4. ЗЛО Американский колл-опцион
  5. ОБРАЩАЮЩИЕСЯ НА БИРЖЕ ОПЦИОНЫ «КОЛЛ»
  6. ПРОДАЖА ПОКРЫТЫХ опционов «колл»
  7. Калькуляция доходности за несколько периодов
  8. Правовое регулирование платежных карт в Европейском союзе и отдельных европейских странах
  9. Учет опционов
  10. Приложение: опционные стратегии
  11. ОПЦИОНЫ НА ЦЕННЫЕ БУМАГИ
  12. Основные характеристики биржевых опционов
  13. ХАРАКТЕР СДЕЛОК С ОПЦИОНАМИ