<<
>>

Формирование условий эффективности ипотечного страхования кредитного риска на основе функции полезности

Опишем основные известные способы учета отношения людей к риску. Пусть некоторому индивидууму предлагают вложить деньги с высокой доходностью, но и с высоким риском. Предположим, что р — вероятность неполучения дохода (доход равен нулю), (1 — р) — вероятность получения дохода х.
Ожидаемый доход составит М(х) = (1 — р)-х. Тогда встает вопрос о том, какую сумму х0 индивидуум готов заплатить за участие в такой лотерее?

На основе соотношения этой суммы х0 и ожидаемого дохода (1 — р)-х строится условное разделение на три группы, каждая из которых отличается отношением к риску.

¦ нейтральные к риску — готовые участвовать в лотерее за ожидаемый выигрыш, т. е. х0 = (1 — р)-х;

¦ не склонные к риску — готовые внести за участие в лотерее сумму строго меньшую ожидаемого дохода, т. е. х0 < (1 — р)-х;

¦ склонные к риску — готовые участвовать в лотерее даже при условии, что ожидаемый выигрыш меньше их взноса, т. е.

х0 > (1 — р)-х.

Отношение людей к риску также можно выразить с помощью функции полезности.

Полезность является числовой характеристикой предпочтения людей на множестве альтернатив, зависящих от случайных величин [15]. Обозначим х — альтернативу (например, размер денежного выигрыша в лотерее), и(х) — функцию полезности, определенную на множестве альтернатив. Рассмотрим функциональные зависимости, соответствующие различному отношению к риску.

Люди, нейтральные к риску имеют линейные функции полезности. и(х)=к-х, к>0, ы'(х)=к>0, и”(х)=0. Полезность определяется с точностью до линейного множителя.

Люди, склонные к риску имеют выпуклую вниз функцию полезности. и' (х)>0, и” (х)>0. Такими функциями могут быть и(х)=х а, а>1, и(х)=ех — 1. Функция и(х) называется выпуклой вниз (вогнутой) на множестве В, если для любых х1, х2 е В и любого Хе [0, 1] выполнено

(98) и(Х х1 + (1 — Х) х2) > Х и(х1) + (1 — Х) и(х2).

Из определения следует, что график и(х) на любом отрезке [у1, у2] е В обязательно лежит не ниже хорды, соединяющей точки графика (х1, и(х1)) и (х2, и(х2)).

Люди несклонные к риску имеют выпуклую вверх функцию полезности.

и' (х)>0, и” (х)<0. Приведенным условиям удовлетворяют следующие функции: и(х)=1п х, и(х)=х а, 0<а<1, и(х)=1 — ех. [15]

Функция и(х) называется выпуклой вверх (выпуклой) на множестве В, если для любых х1, х2 е В и любого Хе [0, 1] выполнено

(99) и(Х х1 + (1 — Х) х2) < Х и(х1) + (1 — Х) и(х2).

Теперь уже график и(х) на любом отрезке [у1, у2] е В обязательно лежит не выше хорды, соединяющей точки графика (х1, и(х1)) и (х2, и(х2)).

В отношении страхователей известно, что это люди, как правило, несклонные к риску и получающие от передачи страховщику своего риска гораздо большую полезность, чем просто компенсацию ожидаемых потерь,

упущенного дохода и т. д. [15] Т. е., если обозначить V — страховые премии, р

- вероятность наступления страхового события, х — ущерб при наступлении страхового события, тогда можно записать: V < рх.

Содержательно это означает, что страхователи готовы отдать страховщику в виде страховых премий меньше, чем могут потерять в случае наступления страхового случая. Страхователи-заемщики не склонны к риску и функция полезности страхователей является неотрицательной возрастающей выпуклой вверх, т. е. и(х)>0, ы'(х)>0, и” (х)<0.

С учетом свойств функции полезности страхователя, рассмотрим ситуацию страхования риска невозврата кредита. Пусть есть две альтернативы. Первая альтернатива: заемщик берет кредит О под і % годовых на п лет. Его периодические выплаты Я линейно зависимы от размера кредита

(7), (15), (26), (32), (37), (41), (42), (46) — (48), (60). Однако при различных способах погашения кредита формулы для вычисления периодических выплат кредитору будут отличаться. Поэтому для удобства в дальнейшей записи (если не требуется уточнение способа погашения кредита) будем использовать некоторый коэффициент Я=Экое//Я_. Вторая альтернатива: тот же заемщик страхует риск невозврата кредита. Тогда кредитор выдает ему кредит О под і % годовых на п лет. Периодические выплаты Я составят Я = Окое//^ Отметим, что размер страховых взносов V и размер ожидаемого ущерба М[х] также линейно зависят от суммы кредита О: V= О •коеи М[х]=0-кое//М соответственно (65), (70), (78), (81), (85), (89), (94), (96).

Докажем, что страхование риска невозврата кредита позволяет получить заемщику больший кредит.

Утверждение 1.

Страхование риска невозврата кредита позволяет получить больший кредит О > О и обеспечивает уменьшение величины первого взноса.

Доказательство.

Пусть V — страховые взносы. Тогда запишем условие страхования:

u(M[ D — R — V] ) > u(M[D — R — х]),

где х — ущерб при невыполнении обязательств по кредиту.

Содержательно это означает, что ожидаемая полезность кредита D с заключением договора страхования не меньше ожидаемой полезности кредита D без заключения договора страхования.

Причем,

u(M[ D — R — V] )= u( D — R — V),

u(M[D — R — х])= u(D — R — M[x]).

Тогда

u(D — R — V) > u(D — R — M[x]).

Ввиду монотонности функции u(x) (u' (x)>0):

D — R — V> D — RM[x].

Тогда

D — D •koeffR — D ¦koeffv > D — D-koeffR — D-koeffM.

D(1 — koeffR — koeffV) >D-(1 — koeffR — koeffM).

D > d1 ~ koeffR ~ koeffM 1 — koeffR — koeffV

1 —k)ef l<—koeffM > 1. Это говорит о том, что D > D.

1 — koeffR — koeffV

Значит величина первоначального взноса уменьшилась на величину Д= D — D.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим далее эти же две альтернативы с позиции кредитора. Как было доказано (см. Утверждение 1), при застрахованном риске невозврата кредита кредитор может увеличить сумму кредита и снизить величину первоначального взноса. Однако повышение суммы кредита ведет к увеличению риска невозврата такового. Покажем, что, передав часть риска страховщику, кредитор может повысить уровень риска невозврата кредита без ущерба для себя.

Пусть в условиях первой альтернативы в случае невозврата кредита ущерб кредитора есть случайная величина у. При невыполнении обязательств по кредиту в условиях второй альтернативы страховщик возместит кредитору ?• ~. Здесь ? — доля ответственности страховщика, ~ — ущерб кредитора в случае невозврата кредита в условиях второй альтернативы.

Утверждение 2. Кредитор может выдать кредит с большим ожидаемым ущербом при условии страхования риска невозврата данного кредита.

Доказательство.

Пусть в условиях первой альтернативы ожидаемый ущерб составит М[у].

Этот ожидаемый ущерб не больше некоторого максимально допустимого М: М[у] < М.

Потребуем, чтобы полезность в условиях второй альтернативы была не меньше полезности в условиях первой альтернативы:

и(Я — Б — (1 — ?)М[~ ]) > и(Я — Б — М[у]).

С учетом монотонности функции и(х) (и' (х)>0),

Я — Б — (1 — ?)М[~ ] > Я — Б — М[у].

Отсюда

(Я — Б) — (Я — Б)+ М[у] > (1 — $М[*].

Т. к. Я — Б > Я — Б, то (Я — Б) — (Я — Б) > 0.

Значит, риск, оставшийся у кредитора в условиях второй альтернативы гораздо меньше риска первой альтернативы.

Далее покажем для М:

М + (Я — Б) — (Я — Б) > (Я — Б) — (Я — Б)+ М[у] > (1 — ?)М[~].

Или

М + (Я — Б) — (Я — Б) > (1 — ?)М[~].

Значит, М + (Я — Б) — (Я — Б) > М. Это говорит о том, что уровень максимально допустимого ожидаемого ущерба для кредитора повысился в случае со страхованием риска невозврата кредита. Т. е. в условиях второй альтернативы кредитор может выдать кредит с ожидаемым ущербом большим, чем в условиях перовой альтернативы.

Что и требовалось доказать.

Страховщики, в большинстве своем, нейтральны к риску. Снижение риска у страховщиков достигается за счет агрегирования большого числа мелких рисков и их диверсификации.

Выше были приведены и доказаны утверждения, подтверждающие целесообразность введения и обеспечивающие эффективность страхования риска невозврата кредита для заемщика, кредитора и страховщика. Конечно, есть некоторые ограничения, в рамках которых выгодно заключать подобные договоры. Это вполне ожидаемо, т. к. участники договора стоят на противоположных позициях. Улучшение позиций одного есть ухудшение позиций другого. Уменьшение выплат заемщика-страхователя есть уменьшение дохода кредитора и страховщика. Увеличение суммы выдаваемого кредита выгодно заемщику в данный момент времени, но в будущем ведет к большим выплатам. В свою очередь, большая сумма кредита для кредитора повлечет большие поступления, но и приведет к увеличению риска невозврата кредита. Для страховщика страхование больших сумм заманчиво с точки зрения высоких страховых премий, но и опасно в случае наступления страхового случая и выплаты страхового возмещения в большом объеме. Поэтому надо найти оптимальное соотношение, которое устраивало бы всех участников договора. Т. е. тот набор параметров, определяющих размер денежных потоков в рассматриваемой ситуации, который удовлетворял бы всем ограничениям.

<< | >>
Источник: Ростова Елена Павловна. Модели и методы формирования финансовых потоков и механизма ипотечного страхования кредитных рисков. 2006

Еще по теме Формирование условий эффективности ипотечного страхования кредитного риска на основе функции полезности:

  1. Организация ипотечного страхования кредитного риска
  2. Анализ зарубежного и отечественного опыта в ипотечном страховании кредитного риска
  3. Организация актуарных расчетов и механизма андеррайтинга при ипотечном страховании кредитного риска
  4. Реализация механизма ипотечного страхования кредитного риска
  5. Пример практической реализации ипотечного страхования кредитного риска
  6. Страхование кредитного риска при ипотечном жилищном кредитовании: цели, особенности, проблемы и направления развития
  7. Формирование модели механизма выбора оптимальных условий договора ипотечного страхования
  8. Ростова Елена Павловна. Модели и методы формирования финансовых потоков и механизма ипотечного страхования кредитных рисков, 2006
  9. Ипотечное страхование: виды и факторы риска, особенности
  10. Модель формирования финансовых потоков и разработка модели механизма принятия оптимального решения по выбору параметров страхования кредитного риска
  11. Факторы риска, влияющие на размер страховой премии ипотечного страхования.
  12. Понятие страхования, его теоретические основы и функции
  13. Факторы, влияющие на степень риска при заключении договора страхования. Увеличение степени риска
  14. Моделирование кредитного риска
  15. Теория кредитного риска
  16. Зарубежный опыт ипотечного страхования.
  17. Оценка кредитного качества коммерческих ипотечных ценных бумаг
  18. Виды кредитного риска и специфика управления ими