<<
>>

Формирование модели механизма выбора оптимальных условий договора ипотечного страхования

Опишем модель, которая будет рассмотрена далее, и введем обозначения единые для всех дальнейших выкладок.

В приведенных выше утверждениях рассматривались две альтернативы, и заемщик стоял перед выбором: страховать или не страховать риск

невозврата кредита.

Как было показано для всех участников выгодно заключение страхового договора, поэтому будем считать, что заемщик сделал свой выбор. Тогда заемщик становится страхователем.

Рассмотрим сначала взаимодействие кредитора и заемщика. Пусть кредитор выдал кредит В под і % годовых на п лет. Выплаты по кредиту происходят т раз в год. Тогда общее количество всех выплат равно т-п. Остаток суммы кредита после очередного к-го платежа Вк, т. е. В0=В. Каждый платеж заемщика Як состоит из погашения основного долга ДВк=Вк _ і — Вк и процентов Ргк, выплачиваемых за пользование кредитом. Будем считать, что выплаты по кредиту происходят в конце каждого к-го периода. В случае необходимости адаптировать выкладки и расчеты к кредиту с предоплатой можно достаточно просто и быстро.

Вид ипотечного кредита не конкретизируется, поскольку более подробно рассмотрен в другом разделе. Кредитор может выдать кредит с ожидаемым ущербом М[Х] не более максимально допустимого М.

Рассмотрим теперь взаимодействие между страховщиком и заемщиком. Заемщик с момента заключения договора страхования становится страхователем. Заемщик-страхователь застраховал риск невозврата кредита. Страховщик установил периодические страховые выплаты в размере Ук. Структура и методы расчета страховых премий рассмотрены отдельно. В течение к-го периода заемщик может не выполнить обязательства по кредиту с вероятностью рк и выполнить их соответственно с вероятностью (1рк). Следует отметить, что для различных ЬТУ кредита вероятность рк будет разной. Вероятность невозврата также меняется в зависимости от периода.

Пик невыплат приходится на середину срока кредита. [95] При наступлении страхового случая в течение к-го периода страховщик выплачивает кредитору страховое возмещение Жк. Пусть предел ответственности страховщика равен ? % от суммы ущерба. Страховая сумма Бк состоит из остатка основного долга после последнего платежа Вк _ 1 и невыплаченных процентов Ргк за пользование кредитом в текущий период. Будем считать, что сроки выплат

кредитору и внесения страховых премий совпадают во времени. Варианты расчета страховых премий для других вариантов рассмотрены отдельно.

В качестве изначально известных величин выступают сумма кредита, размер первоначального взноса, процент по кредиту, его тип и условия. Исходя из этих данных, требуется определить размер страховых премий и уровень ответственности страховщика. При этом следует учесть противоположность интересов всех участников данной ситуации.

Построим целевые функции всех участников системы и наложим ограничения, в рамках которых эти целевые функции будем оптимизировать. Для более детального рассмотрения составляющих модели, распишем методы выплат кредита, некоторые аспекты построения страховой премии и сведем воедино полученные результаты.

Заемщик-страхователь хотел бы получить наибольшую выгоду от полученного кредита D с учетом производимых им периодических выплат кредитору и страховщику Rk + Vk. Это можно записать следующим образом:

(100) D — Rk — Vk ^ max для k=1, 2,..., m-n.

Получили целевую функцию заемщика-страхователя fk=D — Rk — Vk. для к= 1, 2,..., m-n. Следует отметить, что сопоставление суммы кредита, выданной единовременно, с периодическими выплатами возможно в виду того, что дисконтирование Rk и Vk предусмотрено в их структуре, что будет показано ниже.

Кредитор, в свою очередь, на каждом этапе хочет увеличить ожидаемый доход, состоящую из выплаты, получаемых от заемщика и страхового возмещения в случае невыполнения заемщиком обязательств по кредиту. Значит, целевую функцию кредитора Fk= Rk(1рк)+ Wkpk надо максимизировать:

(101) Rk(1 — рк )+ Wk'Pk^ max для k=1, 2,..., m-n.

Страховщик, так же как и кредитор заинтересован получить

наибольший доход.

Тогда его целевая функция Fk =Vk — Wkpk (для к= 1, 2,..., m-n) должна стремиться к максимуму:

(102) ?к =?кWk'pk—— тах для к=1, 2,..., т-п.

Таким образом, получился набор целевых функций всех участников рассматриваемой модели. Полученные целевые функции позволяют оптимизировать процесс взаимодействия всех участников системы на каждом этапе, т. е. позволяют решать задачи пошаговой оптимизации или динамического программирования. С помощью данных целевых функций можно учитывать изменяющиеся условия системы. Это могут быть процентная ставка кредитования, досрочная или повышенная выплата по кредиту, что может повлечь изменение тарифной ставки страхования.

В приведенных выше утверждениях были получены некоторые ограничения, накладывающие дополнительные условия на функционирование рассматриваемой системы. В рамках этих условий вторая альтернатива выгоднее первой. Т. е., если выполняются данные ограничения, выгоднее, застраховав риск невозврата кредита, получить в кредит сумму большую, чем при незастрахованном риске.

Данные ограничения могут быть использованы при решении задач оптимизации деятельности всех участников системы. Напомним их:

?< М[Х],

0 > —к>е,< к(>еММ (Утверждение 1),

1 — коеИк — к°еИу

(К — 0) — (К — —)+ М[у] > (1 — ?)-М[~] (Утверждение 2),

Щ)=Х-г (71” ).

М ( х ) • г

В предлагаемой системе не рассматривается первая альтернатива, рассматривается только вторая в условиях осуществленного выбора. Рассмотрим первое ограничение. С учетом того, что в целевых функциях использованы периодические выплаты, изменим первое ограничение:

(103) ?к < М[Хк].

Определив М[Хи], можно будет ограничить сверху страховую премию V, при которой страховщик готов принять на себя риск Хи и которую страхователь-заемщик в состоянии заплатить за страховую защиту.

Из второго утверждения получаем ограничение (103' ) М[Х] < М, которое обеспечивает невыдачу рискованных кредитов.

Рассмотрим следующую ситуацию. В условиях первой альтернативы заемщику было отказано в кредите, потому что М[у] > М.

Тогда ему предложили застраховать риск невозврата кредита. Кредит может быть выдан, если ожидаемый ущерб кредитора меньше максимально допустимого:

(103" ) (1?) М[у]< М.

Последнее ограничение можно интерпретировать следующим образом: при последующем решении задачи выбираться будут ответы, соответствующие данной зависимости, т.е. точки (Т, ?), принадлежащие графику функции (77" ).

В записи целевых функций участников системы присутствуют величины, варьирование которых может привести к различным результатам для различных целевых функций. Значит, периодические выплаты нуждаются также и в ограничении сверху. Надо определить предел, выше которого они не должны подниматься.

Для этого воспользуемся некоторыми критериями, которые оцениваются при решении о выдаче кредита. Чтобы заявка на получение ипотечного кредита была принята кредитором, необходимо оценить платежеспособность заемщика, т.е. способность погасить заемщиком ипотечный кредит должна соответствовать установленным критериям платежеспособности.

В практике кредитования используется совокупность критериев платежеспособности. Так, для определения платежеспособности заемщика рассчитывается жилищный коэффициент (у1 или РТ1), отражающий допустимую долю дохода, направляемую заемщиком на периодические

выплаты по кредиту. Этот коэффициент устанавливается для каждого заемщика при оценке его платежеспособности и находится в пределах от 0,3 до 0,5. Он может устанавливаться в зависимости от величины дохода заемщика (ДЗ): соответственно с ростом дохода заемщика коэффициент увеличивается. [18]

С учетом жилищного коэффициента размер периодических выплат должен удовлетворять уравнению

(104) 0'= у'ДЗ.

Другим критерием, характеризующим платежеспособность заемщика, является коэффициент его задолженности у2, который учитывает ежемесячную сумму обязательств, включая платежи по ипотечному кредиту. Этот коэффициент находится в пределах от 0,55 до 0,65 и может устанавливаться в зависимости от дохода заемщика: с ростом дохода коэффициент увеличивается.

Тогда с учетом коэффициента задолженности размер периодических выплат должен удовлетворять уравнению

(105) О2“ У2'ДЗ — ЕО.

Здесь ЕО — ежемесячные обязательства заемщика.

Периодический платеж 0 должен удовлетворять двум критериям и определяться как наименьший из О и О2. Рассчитанная таким образом величина периодических выплат отражает предельные финансовые возможности заемщика. Обозначим эту величину выплат через Отах, т.е.

(106) Отах = тт{0\ О2}-

1 2

О и О являются ежемесячными показателями, а выплаты могут происходить с другой периодичностью, поэтому Отах надо скорректировать:

(107) Отах =--тт{О\ О2}-

т

Тогда размер периодических выплат должен удовлетворять неравенству

(108) О к < Отах, к=\, 2,..., тп,

где периодические выплаты состоят из страховых премий и выплат по кредиту:

(109) Q k=Vk+Rk, k=1, 2,..., m-n.

В совокупности (106) — (109) образуют условие ограничения периодических выплат по кредиту сверху:

(110) Rk+Vk< — •min{Q \ Q 2}, k=1, 2,..., m-n.

m

Таким образом, на периодические выплаты заемщика наложены условия, позволяющие определить верхнюю и нижнюю границы периодических платежей кредитору и страховых премий.

Полученная модель (100) — (110) содержит достаточно большое количество переменных, что существенно осложняет процесс решения задачи. Для того, что упростить запись и свести поставленную задачу к задаче линейного программирования, введем специальные коэффициенты. Выше о них уже упоминалось (стр. 82 — 84) и они были записаны в обобщенной форме, независимо от вида ипотечного кредита.

Обобщенная запись модели ипотечного страхования.

Напомним основные составляющие модели.

Имеются целевые функции страховщика, кредитора и заемщикастрахователя соответственно:

Fk=VkWkpk— max для k=1, 2,..., m-n,

Fk= Rk(1Pk)+ Wkpk— max для k=1, 2,..., m-n, fk= D — Rk — Vk.—— max для k=1, 2,..., m-n.

Также существуют ограничения, в рамках которых оптимизируются целевые функции:

Vk < M(Xk), (15)M(Xk)< M,, T(0=—^-, Rk+Vk<-¦min{Q', Q 2} при

M (x) • X m

k=1, 2,..., m-n.

Как видно, в каждом из рассмотренных выше способов погашения кредита, величина выплат прямо пропорциональна сумме кредита, умноженной на некоторый коэффициент, зависящий от срока кредита n, от

процентной ставки /, от расчетного периода к (кроме аннуитетного кредита) и от периодичности выплат т. Значит, можно записать, что

(111) Як=В-кое//р(п, I, т).

Для различных видов кредита коэффициент ков//р(п, I, т) будет иметь различную запись.

Страховое возмещение Жк составляет ^ % от суммы Рк = Вк — 1 + РГк.

Величину ответственности страховщика ^ также можно считать в долях:

(112) Жк= ?(Вк — 1 + Ргк).

Слагаемые Вк — \ и Ргк можно представить как произведение суммы кредита В на некоторые коэффициенты. Запишем их в следующем виде:

(113) Вк=В-ков//В к(п, т),

(114) Ргк=В-кое([Ргк(п, I, т).

Учтя записанное выше, получаем, что Жк прямо пропорционально В:

где

(115) Жк=В • ? • кое/Уп? (п, і, т),

(116) кое//П (п, і, т)= кое//Рг(п, і, т) + кое//В к 1 (п, і, т).

Как видно из (66), (70), (78) и (81), М(Х) линейно зависит от В.

Запишем М(Х) в виде произведения В и некоторого коэффициента,

зависящего от п, т, і и ЬТУ. Причем, ЬТУ в записи коэффициента

непосредственно не фигурирует, оно влияет на вероятность наступления

страхового случая рк:

(117) М(Х)=Вкое//М (п, і, т, ЬТУ).

Далее рассмотрим единовременную страховую премию V, полученную

из нее постоянную ежегодную V. Для получения V обратимся к следующей

формуле:

V • ~п—1

(118) V

к=2

( ( к-1 ^ ’

п-к

• 1 — 7 П]

К }=1 00

у,,-1 + ? ~п-к • 1 — ?р

где ^ =(1 + I) — показатель того, во сколько раз уменьшается современная цена каждой страховой премии. [49].

По аналогии получим формулу для постоянной периодической страховой премии, выплачиваемой т раз в год:

(119) v=V/

1 (( \к/ ]

¦m-1 i/mi

1 + Е

к=1

1Е Pj

j=1

к1

m

к-1

где

к/

m

- целая часть дроби,

к-1

m

- дробная часть, а современная цена

каждой страховой премии уменьшается в (1+ — )=~т раз.

т

Для краткости запишем (119) в виде

(120) v=V¦koeffv (п, I, т, ЬТУ), где

(121) коeffv (n, i, m, LTV)=1/

к=1

л 1

w

к-1

0 00

В свою очередь V прямо пропорциональна М(Х) в силу (61), где

Т0= М(Х). Значит, Vможно записать следующим образом:

(122) ?=-±Н-М(Х).

Из V получаем V по известной формуле (119).

Поскольку значения рисковой надбавки 0 и нагрузки Н0 не известны,

обозначим для краткости всю дробь

1 + в

1 — Н 0

=Т.

Тогда Vk в записи модели будут участвовать в следующем виде:

(123) Vk = v= Vkoeffv (n, i, m, LTV)=Т•М(Х)•koejfv (n, i, m, LTV)=

=Т¦D¦koeffм (n, i, m, LTV)¦koeffv (n, i, m, LTV).

С учетом вновь введенных коэффициентов запишем целевые функции

(124) Fk =T-DкoeffM• koeffv — D • ? • koeffW •рк^ max для к=1, 2,..., m-n,

(125) Fk= D-koeffR(1pk)+ D • ? • koeffWkpk^ max для k=1, 2,..., m-n,

(126) fk= D — DkoeffR — T D koeffu• koeffv ^ max для k=1, 2,..., mn. Вынесем множитель D и получим целевые функции для задач

линейного программирования:

или

или

(124' ) Fk =T-koeffMkoeffv — 5 — koeffWpk— max для k=1, 2,..., m-n, (125' ) Fk= koeffR(1pk)+ 5 — koeffWpk— max для k=1, 2,..., m-n, (126' ) fk= 1 — koeffR — TkoeffMkoeffv — max для k=1, 2,..., m-n.

И ограничения

(127) Т — M(Xk) < M(Xk)

(127' ) T <1,

(128) (15>D-koeffuk < Mk

(128' ) D •koeffM ^ < 5 < 1

D • koeff‘u

(77" ) T(a V

M(x)•X

(129) DkoeffR + Т-DkoeffM• koeffv < 12-min{Q1,Q2}, k=1, 2,..., m-n

m

или

- • ттШ1,02} — — • кае//К

(129' ) Т < т, к = 1,2,...,т • п.

4 ' — • кае//• кае/ ’

Задача свелась к нахождению таких значений Т*, ^*, при которых выполняются ограничения (127) — (129) и целевые функции принимают оптимальные значения. Содержательно это соответствует такой страховой премии, размеру кредита и уровню ответственности страховщика, при которых система будет функционировать наиболее продуктивно, а заключенные договора будут выгодны для всех участников. Значения всех коэффициентов можно вычислить, зная процентную ставку по кредиту, срок, на который выдается кредит и количество платежей в год.

Выше были рассмотрены различные виды ипотечных кредитов. Однако чаще всего используются аннуитетный кредит и кредит с погашением основной суммы долга равными суммами. Рассмотрим более подробно для двух данных видов кредита коэффициенты, участвующие в записи модели.

Аннуитетный кредит характерен постоянными периодическими выплатами, значит можно записать ков//р(п, I, т) независящим от к:

(130) Я=Вков//Я(п, I, т), где

1 +

(131) ков//Я(п, I, т)=

т

. пт-I

пт [ у

+-

г=1 V т,

Нетрудно заметить, что при т=1 (32) сводится к (15). Поэтому для

одного вида кредита можно оставить один коэффициент ков//Я(п, I, т) и

только изменять соответствующие параметры.

Аналогично для М(Х) при т = 1 формула (81)

В| 1 +

М(Х)

т

. пт-I

пт пт

(пт + 1)Е рЕ ЗР]

1=1 ]=1

переходит в (70). Запишем

т

$ V1+

коэффициент ков//М (п, I, т, ЬТУ) для (117):

1 +

(132) ков//М (п, I, т, ЬТУ)=

т

(пт + 1)Е р1-Е ]Р]

1=1 1=1

г=1

т

пт

пт

пт

1/,м-г В 1 +

пт

I 1

С учетом (29) В1=В(1 +^т)’ — Я$| 1 + — I и (32) Я=—-—т^г, получим:

т ^ Г1+

г =1

1 1г

1 ' I

(133) Вj=В(1+i/m)1 — Я• Е| 1 +

г=1

т

пт

I 1

=В[(1+!/т)1 ^ т0—г• У].

^ ^ Е Г1 + ^ У"-г ? V т) 1

г=1 V т )

Отсюда можно записать

(134) Вк=Вков//В к(п, I, т),

где

. ч пт

1 + I k f • ^-1

k/ • ч /1,.-/-.„ч к V т 1

(135) koeffD k(n, I, т)= (l+i/m) к ^ т0 i ¦ 211 + ~

ёМ 1 11 V т

-1

1=1

I=1 v т 0

Для (30) Pfj=Dj — 1i/m, зная, что Dj — 1 прямо пропорционально D, запишем (114), но с другим коэффициентом:

[

. ч nm

1 + I к-1 ( ¦ Л k-1-г

v>. >. "V'"v — т. m. т-1 • Z+ т) ]i/m:

2 (l + ^ '=¦ m

1 =1

т

= koeffD к1 (и, i, m) i/m.

Вычислив для аннуитетного кредита коэффициенты, получим

численные значения, которые можно подставить в целевые функции и

ограничения.

Кредиты с погашением основного долга постоянными суммами

отличаются от аннуитетных кредитов по многим параметрам. Получим

необходимые коэффициенты для данного вида кредитов.

Исходя из (26): Я,=-^[m+i(nm — j+1)], запишем коэффициент

пт

(137) koeffRk(n, i, m)= m +i(nm — к +1).

nm

Далее получим коэффициент koeffM (n, i, m, LTV) из (78)

D nm nm nm

— (nm + l)(2(m + i) + inm)S pj — (2i(nm +1) + 2m + i )E jPj +1Sj 2i

j=i j=i j=i

M(X)

2nm2

(138) koeffM (n, i, m, LTV)=

2nm2

nm nm nm

(nm + l)(2(m + i) + inm)Ё P j — (2i(nm +1) + 2m + i )ё jP/ + i2j 2 Pj

j=1 j=1 j=1

Опираясь на (24) D,=D(1j/nm) и (25) Pr,= D— [1 — (/ — 1)/nm],

т

получим коэффициенты koeffD k(n, m) и koeffPk(n, i, m). Запишем

(139) Dk=D-koeffD k(n, m),

где

(140) koeffD k(n, m)= 1 — k/nm

и

(141) Prk=D-koeffpr(n, i, m),

где

(142) koeffPr(n, i, m)= — [1 — (k — 1)/nm].

т

Итак, получили коэффициенты модели для двух наиболее распространенных видов ипотечного кредита. Для того, чтобы воспользоваться формулами достаточно знать срок п, на который выдается кредит, количество выплат в год т, процентную ставку по кредиту i и LTV кредита.

Описанная выше модель и полученные коэффициенты представляют задачу линейного программирования для каждого из периодов, т. е. для каждого из периодов надо будет решать свою задачу, получив новые значения, рассчитывать необходимые параметры кредита и страхового договора. В каких-то отдельных случаях это может быть и оправдано, например, если выплаты происходят раз в год. Если же выплаты происходят довольно часто, то проводить такие расчеты, например, ежемесячно нецелесообразно. Поэтому на основе существующих данных запишем модель для всего периода страхования. Для этого просуммируем целевые функции по всем периодам:

nm

(124" ) F =T-koeffM• koeffv-m-n — ? • ^koeffW?pk ^ max,

k=1

nm nm

(125" ) F= ^koeffR(1 — Pk) + ? • ^koeffWkpk ^ max,

k=1 k=1

nm

(126" ) f = mn — ^koeffk — T koeffM• koeffv-mm ^ max.

k=1

Ограничения изменятся следующим образом:

(127" ) Т • M(X)< M(X)

или

(127' ) Т <1,

(128' ) М(Х) — М < ? < 1,

4 7 М (X) _ '

(77" ) Щ) V

М(х)•Х

пт

(129) В • ?кое//к + ТВ кое//М• кое/у-тп < 12птіп{0 ^ }

к=1

или

12 • п • тіп{ 01,02} — В •? кое//

(129" ) Т <-

к =1

В • кое/М •кое/ •п •т

Таким образом, получили целевые функции и для всего срока действия договора. Значит, задачу оптимизации можно решать как поэтапно, так и на весь срок, в зависимости от условий. Зная необходимые параметры, можно рассчитать модель и выбрать наиболее приемлемый в данной ситуации ход решения. В каждом конкретном случае могут возникнуть свои особенности и нюансы, учесть которые должен эксперт, решающий поставленную перед ним задачу выбора оптимальных размеров страховой премии и уровня ответственности страховщик, не забывая при этом об интересах заемщика, что должно привести к повышению уровня доступности ипотечных кредитов. Описанная модель с вышеозначенными целевыми функциями дает возможность выбора наиболее оптимального подхода к решению.

В рассматриваемых условиях кредитор, заемщик и страховщик преследуют свои интересы, несовпадающие с интересами других участников модели. Заемщик желает получить кредит большего размера при имеющейся у него сумме первоначального взноса, кредитор не склонен выдавать кредиты с высоким ЬТУ, т. к. высок риск невозврата таких кредитов, страховщик же стремится обезопасить себя за счет высоких страховых премий и низкого уровня ответственности, что в свою очередь не устраивает заемщикастрахователя и кредитора соответственно.

Представленная модель учитывает интересы всех участников ипотечного страхования посредством их целевых функций, максимизируя доход каждого из них и повышая эффективность ипотечного страхования. Ограничения служат для определения области допустимых решений данной задачи, соблюдая требования страховщика (127' ), кредитора (128' ) и заемщика-страхователя (129' ).

<< | >>
Источник: Ростова Елена Павловна. Модели и методы формирования финансовых потоков и механизма ипотечного страхования кредитных рисков. 2006

Еще по теме Формирование модели механизма выбора оптимальных условий договора ипотечного страхования:

  1. Модель формирования финансовых потоков и разработка модели механизма принятия оптимального решения по выбору параметров страхования кредитного риска
  2. Ростова Елена Павловна. Модели и методы формирования финансовых потоков и механизма ипотечного страхования кредитных рисков, 2006
  3. Формирование условий эффективности ипотечного страхования кредитного риска на основе функции полезности
  4. Организация актуарных расчетов и механизма андеррайтинга при ипотечном страховании кредитного риска
  5. Формирование модели финансовых потоков при реализации различных видах ипотечных кредитов
  6. Существенные условия договора страхования
  7. Условия договора страхования
  8. Реализация механизма ипотечного страхования кредитного риска
  9. Условия прекращения договора страхования и его недействительности
  10. Вилы договоров страхования грузоперевозок. Принципы формирования страхового покрытия
  11. Механизм страхования рисков формирования и использования финансовых ресурсов
  12. Финансовые ресурсы предприятий, механизм их формирования в условиях рынка.
  13. Общие условия договоров страхования ответственности за качество продукции
  14. Гражданско-правовая ответственность за нарушение условий договора страхования
  15. Общие вопросы договора страхования. Форма договора страхования
  16. Заключение и веление договора страхования жизни. Особенности договора страхования жизни
  17. Выбор оптимального портфеля
  18. Организация ипотечного страхования кредитного риска
  19. Существенные условия договора купли-продажи эмиссионных корпоративных ценных бумаг и условия, которые могли быть относимы к существенным