Простые и сложные ставки ссудных процентов

Введем следующие обозначения:

\ (%) — простая годовая ставка ссудного процента;

/-относительная величина годовой ставки процентов;,

Iсумма процентных денег, выплачиваемых за год;

1 — общая сумма процентных денег за весь период начисления;

р — величина первоначальной денежной суммы;

5наращенная сумма;

Ки — коэффициент наращения;

п — продолжительность периода начисления в годах;

д — продолжительность периода начисления в днях;

К — продолжительность года в днях.

Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за

один день.

1) используется точное число дней ссуды, определяемое

по специальной таблице, где показаны порядковые но-

мера каждого дня года; из номера, соответствующего

дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

2) беретЬя приблизительное число дней ссуды, когда про-

должительность полного месяца принимается равной

30 дням; этот метод используется, когда не требуется

большая точность, например, при частичном погаше-

нии займа.

Точный процент получают в случае, когда за временную

базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) н точ-

ное число дней ссуды.

Определение современной величины Р наращенной сум-

мы 51 называется дисконтированием, а определение величи-

ны наращенной суммы 5 — компаудироваиием

5 = Р(1 +/•«) — компаудировамие по простой ссудной

^ ставке;

Р — дисконтирование по простой ссудной

(1 + / * п) ставке.

Если продолжительность ссуды менее одного года,можно

использовать следующие формулы:

8, „.V

S = P^^І¦-);-P= 5 •

К ([ + /.-)

к,.

Преобразуя формулы (т.е.

ражения на эквивалентные и выражая одни величины через

другие), получаем еще несколько формул для определения

неизвестных величин в различных случаях:

8-Р. Б-Р. Я-Р „

и =.;5=к ¦! = —:( = К.

Р-1 Р-1 Рп Р-8

Иногда на разных интервалах начисления применяются

разные процентные ставки. Если на последовательных интер-

валах начисления !г ^ используются ставки процентов ^

ГЛАВА 2. Математические основы финансовоэкономических расчетов..

КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ

/, i2,.../N, то доход кредитора в конце интервала составит:

/1 = Р-п1 •/,,

в конце второго интервала: /2, и т.д.

При тУ интервалах начисленная наращенная сумма соста-

Если после очередного интервала начисления доход (т.е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространен-ным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Если срок ссуды п в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:

Кн — (l + /)'" • (І + / ¦ nh ), тогда S = Р ¦ (l + /)’“ ¦(] + /¦ nh ),

где n=-na + nb;

па — целое число лет;

ni — оставшаяся дробная часть года.

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов у — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления.

При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет п лет, то получаем выражение для определения наращенной суммы:

вит

S

Здесь пт — об шее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (пт — целое число интервалов начисления, /-часть интервала начисления), то выражение принимает вид:

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов, а для оставшейся части — формула простых процентов.

В Казахстане в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

Пример I.

Ссуда в размере 5 млн тенге выдана на полгода по простой ставке ссудных процентов 20% годовых.

Решение;

8~5 (1 + 0,5 ¦ 0,2) = 5,5 (млнтенге).

Пример 2.

Кредит в размере 10 млн тенге выдан 2 марта до 11 декабря под 18% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.

Решение:

1) В случае точных процентов берем 5 = 284:

10 (11 284/366 • 0,18) = 11,4 (млнтенге);

2) для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды:

.9= 10(1 + 284/360 ¦ 0,18) = 11,42 (млн тенге);

КОРПОРАТИВНЫЕ ФИНАНСЫ

3) для обыкновенных процентов с приближенным числом

дней ссуды (8 = 280):

5" = 10 (] +280/360 • 0,18) = 11,94 (млн тенге).

Пример 3.

Кредит в размере 20 млн тенге выдается на 3,5 года. Став-

ка процентов за первый год — 15%, а за каждое последующее

полугодие она увеличивается на 1 %. Определить множитель

наращения и наращенную сумму.

Решение:

Кн — 1 + 0,15 + 0,5 (0,16 + 0,17 + 0,18 + 0,19 + 0,2) = 1,6.

5 = 20 ¦ 1,6 — 32 млн тенге.

Пример 4.

Определить период начисления, за который первона-

чальный капитал в размере 20 млн тенге вырастет до 65 млн

тенге, если используется простая ставка процентов 20% го-

довых.

Решение:

У1 ~ (65 — 20)/(20 ¦ 0,2) = 11,25 года.

Пример 5.

Определить простую ставку процентов, при которой пер-

воначальный капитал в размере 24 млн тенге достигнет 26

млн тенге через 100 дней. К= 365.

Решение:.5

(= (26 — 24)'(24 * 100) ¦ 365 = 0,31, или 31%..

Пример 6,

Кредит выдается под простую ставку 18% годовых на

250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком и сумму

| процентных денег, если величина кредита составляет 40 млн

тенге. Год не високосный. ¦

Решение:

I Р ~ 40 / (1 + 250/365 0,18) = 35,62 (млн тенге).

о| 1 = 40 — 35,62 = 4,38 (млн тенге).

Пример 7.

Первоначальная вложенная сумма равна 200 тыс. тенге.

Определить наращенную сумму через пять лет при исполь-

зовании простой и сложной ставок ссудных процентов в раз-

мере 12% годовых.

когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.

Решение:

По формуле для простых процентных ставок имеем:

5 = 200 (I + 5-0,12) = 320 (тыс. тенге).

По формуле для сложных процентов: • • ¦

5 = 200 (1 4 0,12)5 = 200-1,76 = 352,5 (тыс. тенге). 1

По формуле для начисления по полугодиям:

5200 (1 +0,06)'° = 200 • 1,79 = 358 (тыс. тенге).

Из той же формулы для поквартального начисления:

5 = 200 (1 + 0,03)’°-200* 1,806 = 361,2 (тыс. тенге).

Пример 8.

Первоначальная сумма долга равна 300 тыс. тенге. Опре-

делить наращенную сумму через 2,5 года начисления слож-

ных процентов по ставке 20,0% годовых.

Решение:

? = 300 (I Ь 0,2)2' (1 + 0,5 • 0,2) — 475,2 (тыс. тенге)

Пример 9.

Определим современную (текущую, настоящую, приве-

денную) величину суммы 500 тыс. тенге, выплачиваемой че-

рез три года, при использовании ставки сложных процентов

20% годовых.

Решение:

Р — = 289.35(тыс. тенге). •

(1 ( 0.2)’