<<
>>

Особенности и способы риска портфеля при хеджировании опционами

Прибыль неразрывно связана с риском. Одно из основных положений современной теории финансов состоит в том, что получение более высокой прибыли связано с более высоким риском. Что такое риск, интуитивно понятно каждому, но получение количественных оценок риска связано с серьезными трудностями.

Инвестор в своей деятельности сталкивается с различными рисками.

Обычно выделяют следующие типы риска: рыночный риск, кредитный риск, риск ликвидности, системный риск.

Рыночный риск связан с возможными потерями из-за неблагоприятных для инвестора изменений иен, а точнее, с неопределенностью будущей динамики цен на рынках.

В течение последних двух десятилетий объем операций на мировых финансовых рынках увеличился в несколько раз. Структура рынков стала намного сложнее. Участникам предлагается постоянно Расширяющееся множество финансовых инструментов. Финансовые рынки становятся все более взаимосвязанными. Финансовые и чети туты на сегодняшний день имеют возможность вести фактирески круглосуточную торговлю на товарных и валютных рынках.

ОДатильностъ этих рынков за последнее время значительно воз-

росла.

Все эти факторы вызвали повышенный интерес к о величины рыночного риска.

Альтернативные методы измерения и управления риском па вались параллельно с ростом финансовых рынков. Один из таки»;ЙИ тодов измерения риска, известный как Value at risk (VAR') Me' бенно широко применяться в последние несколько лет и сегоднЛ0' пользуется в качестве основы международными банковскими оргС низациями (BIS, например) при установлении нормативов велич^ ны капитала банка относительно риска его активов. Метод Var gbl разработан для того, чтобы с помощью одного единственного числа отобразить информацию о риске портфеля.

VAR — это величина потерь, такая, что потери о стоимости портфеля за определенный период времени с заданной вероятностью не превысят этой величины /Зб^С.

167-170/.

Определение VAR подразумевает знание функции распределения доходности портфеля за выбранный интервал времени. Если стандартное отклонение как мера риска определяет «ширину» плотности распределения доходности портфеля, то VAR определяет конкретное значение потерь в стоимости портфеля, соответствующее заданному весу «хвоста» распределения.

В качестве примера рассмотрим производственную компанию, которая сталкивается с риском изменения цены на актив, составляющий основу ее деятельности.

Компания не желает подвергаться данному риску. Стандартный способ решения проблемы заключается в использовании производных финансовых и опционных контрактов, а также свопов. Такая компания действует на рынке производных инструментов для управления своим риском, а не для получения основной прибыли от работы на нём.

В качестве оценки риска, рассмотрим значение риска, получаемое с помощью методики оценки риска VAR /37,С.61-64/. Аргументация использования именно данной методики состоит в том, что VAR постепенно становится широко распространенным стандартом при измерении риска, и задача управления риском как задача управления значением VAR заслуживает, внимания.

Оценка VAR — это величина, при которой потери в стоимости портфеля с заданной вероятностью (уровнем достоверности) не превысят этой величины за определенный период времени.

Различные стратегии хеджирования детально разработаны и широко известны. Рассмотрим случай, когда в качестве инструмента х«Д' жирования используются опционы, и решим задачу оптимального управления риском с помощью опционов.

* На русский язык это словосочетание переводят как стоимостная оиенка риска или рисковая стоимость.

фьючерсные И форвардные контракты И ПОДООны*, ШУ,.

, использовании для управления рыночным риском обладают '.'^юшими недостатками:

во-первых, используя фьючерсные и форвардные контракты, мпяния не только страхуется от риска потерь при возникновении ^благоприятной рыночной конъюнктуры, но также ограничивает ^ою прибыль в случае благоприятного развития ситуации на рынке; 8, во-вторых, наличие фьючерсной позиции требует от компании постоянного контроля над состоянием своего торгового счета и при необходимости своевременного внесения дополнительных залоговых средств.

Возможна ситуация, когда для поддержания позиции могут потребоваться значительные финансовые ресурсы и компания будет вынуждена привлекать заемные средства, что может привести компанию к временной потере ликвидности.

Известны случаи, когда крупнейшие корпорации были вынуждены отвлекать значительные ресурсы для поддержания позиции на срочном рынке и в итоге несли огромные убытки из-за необходимости ликвидации позиций ради сохранения платежеспособности.

При использовании опционов таких проблем нет:

• потери компании ограниченны при неблагоприятной конъюнктуре рынка, но при этом компания не ограничивает свою прибыль, при благоприятном варианте;

• дополнительных затрат после приобретения опциона не возникает; отсутствует необходимость в постоянном контроле рыночной ситуации.

Недостаток использования опционов заключается в том, что их приобретение требует определенных начальных затрат. Тем не менее, использование опционов в силу указанных недостатков фьючерсных контрактов более предпочтительно, в особенности для производственных компаний.

Прежде чем приступить к формулировке задачи, сделаем ряд начальных предположений:

!• В качестве инструмента измерения риска используется методика УАЛ,

2Хеджер в своей деятельности подвергается риску возможного неблагоприятного изменения цены на единственный актив. Таким активом могут быть цена на нефть, процентная ставка по кредиту, стоимость инвестиционного портфеля, фондовый индекс и т.д.

3Цена актива является случайной величиной, и ее изменение во вРемени описывается следующим стохастическим дифференциальным Уравнением:

+ (30)

Где ^ цена актива,

р — ожидаемый темп её роста,

<т — волатильность цены актива,

z — переменная, изменение которой следует стандартному винеровскому процессу;

dz = значение случайной величины со стандартным нор

мальным распределением).

Данное уравнение наиболее часто используется для описания поведения рыночных цен и хорошо описывает динамику цен товарных и фондовых рынков, динамику процентных cfaeoK.

Это же уравнение используется при выводе формулы стоимости опционов /38,С.18-27.

4. Для управления риском хеджер использует опционы. Без нарушения общности, можем рассматривать случай, когда используются европейские опционы на продажу (pul option), т.е. случай, когда хеджер стремится застраховаться от падения цены на базовый актив.

5. Стоимость опционов оценивается формулой Блэка—Шоулса (Black-Sckoles). Как показывает практика, данное предположение обоснованно в большинстве случаев, а расхождение между фактической ценой опциона и теоретической у ликвидных инструментов лежит в пределах рыночного спреда между ценами покупки и продажи /39,С.42-45/.

Постановка задачи

Пусть хеджер владеет активом S и желает застраховаться от небла-гоприятной рыночной конъюнктуры. Неблагоприятная конъюнктура для хеджера заключается в возможном падении цены актива, вследствие чего он может понести убытки. Для минимизации возможных убытков хеджер готов затрати ть определенную сумму денег на приобретение опционов на продажу, которые в случае падения цены актива в момент t ограничат потери хеджера.

Для этого в начальный момент / = когда цена актива равна S0 приобретаются европейские опционы на продажу с ценой страйк X в количестве h штук, которые ИСПОЛНЯЮТСЯ в момент т. (Под ценой страйк подразумеваем цену исполнения опциона.) Защищенность хеджера от потерь определяется страйком опциона. В нашем случае чем выше страйк, тем большую защиту обеспечивают опционы. Но с увеличением страйка стоимость опционов также растет.

Определим сначала, чему равно значение VAR портфеля, состоящего из одной единицы актива S. Напомним, что изменение цены актива описывается уравнением (30). Тогда, как известно, значение цены подчиняется логнормальному распределению:

где т ~ 1п 50 + \/х ~ <г2 / 2)г, $ = стл/Т.

При отсутствии хеджа значение УАЯдпя уровня достоверности 1з определяется следующим образом:

где значение цены таково, что вероятность того, что ?г(5" не

превышает а.

5* определяется уравнением:

Л'*

|/(5>5г = 41п5*-т)/^]=а,

5" =ехр[5Лг"'(о')-(-т]

где Лг(?/)— кумулятивная функция нормального распределения, а

дг1 — обратная к ней функция.

У владельца портфеля имеется возможность его хеджирования при помощи опционов на продажу (типа «пут») на актив ^ со сроком

исполнения х и различными страйками.

Р, — Р{$1;,Х,г,т,о) — цена опциона в момент /, где X — цена страйк опциона, г — безрисковая процентная ставка.

Хеджированное значение стоимости портфеля в момент / определяется уравнением:

У1 = Л’, + И тах(Л'^г,0)== та\[/-г.1‘ + (I — 1>)5Г, 5, ],

>ж к ~ коэффициент хеджирования, т.е. доля приобретенных опционом относительно количества актива Б в портфеле хеджера.

Рассмотрим случай, когда А < I все результаты которого по непрерывности могут быть продолжены И ДЛЯ /1 = 1.

Функция распределения стоимости хеджированного портфеля V,, в момент 1 зависит оттого, исполняется опцион или нет. Выражение Для плотности функции распределения имеет вид:

П7

AKh

(f/^sFr)exp[~ln(K,-triflls1] V, > X

[l/V2^i{^-W)]exp{-(ln(K,W)-tn(i-^)+m):]/25;'} hX0, V,(X,

а значения V и VAR равны:

Г = (l — h)SD expfjiV"' (a) + {ft — ГЛЙ = V0 — Г = 50 — V.

Данная формула вычисления VAR верна в предположении, что X > S*. Очевидно, что в реальных условиях хеджа это всегда так.

Можно показать, что выбор опциона со страйком меньше »S'* не

эффективен, так как не влияет на величину VAR.

Как видно из уравнения, оценка VAR является убывающей функцией от А и Л". Но увеличение X и h увеличивает стоимость хеджа.

Пусть 0= hP — стоимость хеджа и С постоянна. Соответствующая задача оптимизации формулируется следующим образом:

VAR: ¦St)[(l — h)Su exp(o(a))+ ЛХ]-~» min,

av ^32)

hP = C = const.

Заменяя в целевой функции аргумент h—C/P, получим, что решение задачи оптимизации соответствует цене:

= argmaxf.Y-S ехр(#(а))/?] (33)

Как видно из полученного выражения, выбор оптимального страйка не зависит от стоимости хеджа С. То есть независимо от величины суммы, которая тратится на хедж, оптимальный страйк всегда один и тот же.

Отсюда можно сделать вывод, что коэффициент хеджирования h определяется просто делением суммы, выделенной на хедж, на стоимость опционов с оптимальным страйком.

Для нахождения значения оптимального страйка приравниваем к нулю первую производную:

{Р — [X — S0 exp(

(заменяя по формуле Блэка%Шоулса)

Г ¦= Xexp(rt)x(d,)SN{d2))

О N{d2)/N(dt) = exp[#(ar)-rr} (34)

Напомним выражения для параметров d{ и d, модели Блэка— Шо-

улса;

; — ^[ln(A7S)-(rсг2/2)r]/(crVr)

d^ ~ (Vj — сх\/г^

Таким образом, значение оптимального страйка соответствует решению уравнения (34).

Напомним, что данный результат получен в предположении, что А<1: На практике это условие обычно выполняется, так как суммы, выделяемые на хеджирование, ограниченны. Если А>1, то выражение (31) для VAR некорректно и его вычисление несколько сложнее. Можно показать, что оптимальное решение в этом случае соответствует значению А = 1, а оптимальный страйк соответствует цене опциона Р(Х) ~ С.

Таким образом, общее решение задачи минимизации VAR при фиксированной стоимости затрат на хедж следующее:

• если стоимость хеджа С достаточно мала, так что при X соответ-ствующему решению уравнения (34) А =С/ДА'ор,)<1, то оптимальное решение определяется уравнением (34).

« если стоимость хеджа С достаточно велика, так что решению уравнения (34) соответствует h. > 1, то оптимальное решение — это выбор коэффициента хеджирования А = 1, оптимальный страйк опциона опреде-ляется решением уравнения Р(Хор) = С.

Рассмотрим в качестве примера казахстанского экспортера нефти.

Экспортер стремится застраховаться от возможного падения цен на нефть и приобретает опционы на продажу нефти, например, на американской бирже NYMEX.

Пусть интервал времени, для которого считается значение VAR, равен одному месяцу, уровень достовер-ности ранен 97,5% (а = 2,5%). Текущее значение цены на нефть — S = 20,00 долл. за баррель. Волатильность равна 25%, ожидаемый темп роста ц = 10%. Безрисковая процентная ставка равняется 5%. (Эти данные близки к историческим).

Значение VAR нехеджлрованного портфеля равняется тогда 2,54 долл. за баррель. То есть с вероятностью 97,5% потери хеджера не превысят за один месяц 2,54 долл. с каждого барреля нефти.

Допустим теперь, что владелец портфеля готов потратить на его хеджирование сумму С= 0,04 долл. на каждый баррель. В этом случае согласно уравнению (5) — оптимальному решению соответствует опцион со страйком X— 18,02 долл. (ближайшим биржевым страйком будет, очевидно, 18,02 долл.). Цена такого опциона (как теоретическая, так и с приемлемой точностью наблюдаемая, равняется

0, 04 долл., и коэффициент хеджирования равен h — 1.

Значение VAR, соответствующее оптимальному решению, равно: VARm — 1,98 долл.

Таким образом, затратив на хеджирование только 0,2% от стоимости портфеля (0,04 долл. от 20,00 долл.), хеджер уменьшает свой риск на 22% на один месяц.

Зависимость оптимального страйка и значения VAR от затрат на хедж приведена в таблице 16 и рисунке 17.

Как видно из рисунка 17, пока С<0,04, коэффициент хеджирования меньше единицы и решение находится с помощью уравнения (34); при 0=0.04 коэффициент хеджирования достигает единицы и далее значение оптимального страйка находится как страйк опциона, стоимость которого равна затратам на хедж.

Отметим также следующий факт: увеличивая С, можно добиться того, чтобы значение VAR равнялось нулю. Это соответствует ситуации полного хеджирования <Л= 1) опционом, страйк которого совпадает с текущей ценой на нефть. Затраты на такой хедж составляют 2,68% от стоимости портфеля.

Решение задачи для хеджера показывает, что во множестве альтернатив между выбором коэффициента хеджирования и ценой исполнения опциона при фиксированном уровне затрат на хедж существует единственное оптимальное решение. При этом оказывается, что оптимальная цена исполнения опциона не зависит от уровня затрат на хедж (вплоть до уровня хеджирования).

В настоящий момент в Казахстане отсутствует рынок опционов, но отечественные компании могут получить доступ на международные рынки производных инструментов. Приведенный пример послужит для казахстанских компаний стимулом к изучению возможностей использования в своей деятельности.

Концепция value at risk (рисковая стоимость, VAR) призвана дать четкий и однозначный ответ на вопрос, возникающий при проведении операций на финансовых рынках: какой максимальный убыток мы рискуем понести за определенный период времени с заданной вероятностью для данного портфеля? Из вопроса следует, что величина VAR для портфеля заданной структуры определяется как наибольший ожидаемый убыток, обусловленный колебаниями цен на финансовых рынках, и рассчитывается /40,С.80-85/:

• на определенный период времени в будущем (временной горизонт);

• с заданной вероятностью его непревышенкя (доверительный интервал);

• при данном предположении о характере поведения рынка (метод расчета).

Доверительный интервал и временной горизонт являются ключе-, вы ми параметрами, без которых невозможны ни расчет, ни интерпретация величины VAR. Так, например, значение рисковой стоимости в 10 млн долл. для временного горизонта в один день и доверительного интервала 99% будет означать, что:

• вероятность того, что в течение следующих 24 часов мы потеряем меньше, чем 10 млн. долл., составляет 99%;

• вероятность того, что наши убытки превысят 10 млн долл. в течение ближайших суток, равна 1%;

• убытки, превышающие 10 млн долл., ожидаются в среднем один раз в 100 дней торгов.

Таким образом, рисковая стоимость является денежным показа» телем, отражающим ожидаемые потери с заданной степенью достоверности.

Авторский коллектив под руководством Ширяева Л.Н. дает следующие теоретические обоснования VAR:

Ковариационный (vahance-covahance) метод" расчета величины VAR является единственным, позволяющим получить оценку VAR в замкнутом виде, В его основе лежит посылка о нормальном законе распределения изменений" так называемых «факторов рыночного риска» — цен первичных «неразложимых» активов, от которых зависит стоимость более сложных инструментов, позиций и портфеля в целом». Поскольку цены активов не могут быть отрицательными и их отношения также

не должны быть отрицательными, то в качестве доходности (г,) обычно принимаются логарифмические приращения значений цен:

Если логарифмы отношений цен (непрерывно наращенная доходность) распределены нормально, то сами отношения будут подчиняться логнормальному распределению.

Нередко на практике вместо логарифмических приращений используются обычные процентные изменения цен, поскольку, как можно убедиться путем разложения в ряд Тейлора, для малых

эти величины будут достаточно близки:

Предположение о нормальном законе распределения изменений факторов риска значительно облегчает нахождение величины VAR, так как в этом случае распределение доходностей инструментов, являющихся линейными комбинациями факторов риска, также будет нормальным. Это фундаментальное свойство будет сохраняться для любого портфеля, состоящего из инструментов с линейными ценовыми характеристиками, как, например, акций или валют.

В случае нормально распределенной случайной величины доверительный интервал (]-а) всегда характеризуется единственным пара-

* Этот метод также называется аналитическим или параметрическим.

** Как правило, под изменением цен понимается однодневная доходность (т.с. относительная величина). Абсолютные изменения цен используются редко в силу их зависимости от масштаба цен.

г, =ln(r,/r,J=ln(P,)-b(P,_,)*N^,cT!} (35)

(36)

метром — квантилью которая показывает положение искомо

го значения случайной величины (симметрично е обоих хвостах распределения) относительно среднего (?[/",]), выраженного в количестве стандартных отклонений доходности портфеля (<т,). Так, для наиболее часто используемых значений доверительного интервала в 95 и 99% соответствующие квантили, будут равны 1,65 и 2,33 стандартных отклонений доходности портфеля.

Для формального определения величины УАИ, используемого в ковариационном методе, рассмотрим сначала инвестиционную позицию, состоящую лишь из одной единицы какого-либо актива. Очевидно, что размер дневной прибыли или убытка по такой единичной позиции будет равен изменению цены этого актива за этот день. В этом случае наименьшая ожидаемая цена следующего дня с заданной вероятностью {1-а} будет равна:

=/,/ехР(?Ь ]-*!-« «О (37)

Математическое ожидание однодневных доходностей обычно принимается равным нулю, что является эмпирической характеристикой процесса случайных блужданий, которому подчиняется динамика цен на финансовых рынках. Стандартное отклонение доходности может быть оценено как по ограниченной выборке цен (историческому периоду наблюдений), так и с использованием методов прогнозирования, простейшим из которых является экспотенциальное сглаживание с параметром 1, реализованное в системе Мяк МСЛПСУ.

<т; = Ла1,+(\-ЛУ,г (38)

Интересующая нас величина УАЯ отражает не цену (или стоимость) как таковую, а ее наибольшее ожидаемое изменение за один день, которое можно определить следующим образом:

Ул%-а) = р,[ехр{~к1-«е,)-1] (39>

На практике величину [ехр(?Ьй<т()-1] обычно заменяют на приближенное значениеку^сг,. Эта линейная аппроксимация для ма-

лых значений а,, также основана на разложении исходной функции в ряд Тейлора. Весьма часто знак <¦%» опускают и оперируют абсолютным значением величины УАЯ

Для временных горизонтов, превышающих один день, допускают, что дисперсия изменений цен пропорциональна длительности временного горизонта прогнозирования, что позволяет получать оценку рыночного риска на необходимую перспективу путем простого масштабирования однодневной величины VAR. Следует отметить, что такая оценка будет приемлемой только для сравнительно небольших интервалов времени (не более 10—15 дней), при этом ее точность падает с увеличением временного горизонта.

Для отдельной позиции, состоящей из нескольких инструментов, подверженных единственному фактору риска, величина рисковой стоимости с временным горизонтом Т дней и доверительным интервалом {) — а) может быть рассчитана по следующей формуле:

aR{Tj-a) = Ка V<7' 'ft' <40>

где У— текущая стоимость позиции (произведение текущей цены на количество единиц актива).

Таким образом, центральной проблемой при расчете величины VAR ковариационным методом является нахождение дисперсии доходности инструмента (для единичной позиции) или портфеля в целом (для совокупности нескольких позиций). В дальнейшем будем придерживаться стандартного (однодневного) временного горизонта для расчета показателя VAR /41,С.54-75/.

VAR для диверсифицированного портфеля

Ковариационный метод расчета показателя VAR уходит корнями в современную теорию портфеля финансовых активов {modern portfolio theory, MPT), в которой мерой рыночного риска выступает дисперсия доходности портфеля. В ковариационном методе стандартное отклонение доходности используется в качестве базы для получения другой, более удобной на практике меры риска — наибольшего ожидаемого убытка.

Для расчета показателя VAR ковариационным методом стоимости всех инструментов,' входящих в портфель, должны быть предварительно представлены в виде аналитических зависимостей от некоторого набора факторов рыночного риска, однодневные логарифмические изменения которых подчиняются совместному нормальному распределению с математическим ожиданием, равным нулю:

r~N{0,2), (41>

где У — ковариационная матрица доходностей факторов риска, рассчитанная по некоторой выборке (периоду наблюдений).

При наличии в портфеле облигаций, опционов и иных инструментов с нелинейными ценовыми характеристиками изменения их стоимости оцениваются путем линейной аппроксимации на основе показателя «дельта» (SP « Лёг )"-

Выбор множества факторов риска, достаточно полно отражающих возможные источники риска и одновременно разумно ограниценного, представляет собой отдельную научную проблему, обычно решаемую эвристическим путем.

В зависимости от количества факторов риска инструменты подразделяются на однофакторные (например, акции, валюты, бескупонные облигации) и многофакторные (например, форвардные контракты на поставку валюты). Следует также учитывать, что один и тот же фактор риска, например процентная ставка, может одновременно влиять на стоимость сразу нескольких инструментов, входящих в портфель.

С формальной точки зрения, набор факторов риска задает обычное векторное пространство, в котором портфель отображается в виде вектора, показывающего подверженность (exposure) его стоимости выбранным факторам риска и называемого Va /^-отображением портфеля (VAR-map). Определение влияющих факторов риска и построение VARотображен и я является ключевой процедурой ковариационного метода и называется декомпозицией портфеля по факторам риска (risk mapping). Элементами вектора К4Л-отображения в заданном многомерном пространстве факторов риска могут выступать различные показатели «подверженности»:

• чувствительность доходности портфеля по отношению к доходностям факторов риска;

• чувствительность абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к доходностям факторов риска;

• текущие стоимости суммарных позиций портфеля по каждому фактору риска в отдельности.

Для портфеля заданной структуры все эти отображения являются эквивалентными с точки зрения расчета величины VAR. Показатели чувствительности позволяют рассчитать дисперсию изменений стоимости портфеля (в относительном или абсолютном выражении) через известные дисперсии и ковариации доходностей факторов риска. В зависимости от последовательности преобразований доходностей в денежные величины при вычислении дисперсии изменений стоимости портфеля (т.е. формы ^Л-отображения) возможны несколько эквивалентных вариантов ковариационного метода, приводящих в итоге к одинаковому результату.

^Рассмотренный метод вычисления VAR для одной позиции может быть обобщен для портфеля, состоящего из нескольких различных

•От да еще одно название этого метода — «дельта-нормальный»

І25

инструментов. Стоимость такого портфеля (У) является функцией многих переменных, количество которых равно числу выбранных факторов рыночного риска. Прирашение стоимости портфеля в окрестности ее текущего значения может быть линейно аппроксимировано членами первого порядка ряда Тейлора:

Это разложение позволяет выразить в общем виде абсолютное и относительное изменение стоимости портфеля через относительные изменения факторов риска:

Выражения в скобках являются не чем иным, как чувствительностями (эластичностями) относительных изменений стоимости портфеля по отношению к изменениям факторов риска.

Показатель чувствительности можно представить в виде произведения коэффициента «дельта» на текущее значение фактора риска в (43) или на отношение текущих значений фактора риска и стоимости портфеля в (44). Поскольку стандартное отклонение является однородной функцией (<у[ах] = асг[х}), эти коэффициенты будут также связывать стандартное отклонение доходности портфеля со стандартными отклонениями доходностей факторов риска. Из (44) следует, что дисперсию доходности портфеля можно оценить следующим образом:

а дисперсия абсолютных изменений стоимости портфеля будет приближенно равна:

& V к (<Э V / )Дг, + (дУ / дгг )Дгг + (д V / дгп )Л,

(42)

ДК «(г,5К+ (г2дУ/дг2)&г2/гг +... + (г„д?/Эг„)йг„/гп; (43)

Д УIV ^ [(г, I У\дУ I дг, )]лг, / г, + {(г2 I У\дУ І дг2%г2 і г, +...

+10',і / У)(дУ /дг„)]Д>'„!г„

(44)

(46)

где wy — чувствительность доходности портфеля по отношению и малым изменениям доходности факторов риска;

sj — чувствительность абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к малым изменениям доходности факторов риска;

>• — стандартное отклонение доходности /-го фактора риска; с,. — коэффициент корреляции между доходностями /-го и у-го факторов риска.

Теперь можно непосредственно использовать базовую формулу (40) для определения величины К4Л. В матричном виде эта формула будет иметь вид:

Кай = kt_aVjwT?w = Ka^SrYi W)

где V — текущая стоимость портфеля;

- вектор-столбец чувствительностей доходности портфеля по отношению к доходностям факторов риска;

S — вектор-столбец чувствительностей абсолютных изменений стоимости портфеля по отношению к доходностям факторов риска.

Рассмотренный «канонический» вариант ковариационного метода расчета VAR является прямолинейным и универсальным: теоретически он применим для портфелей любой сложности, стоимость которых можно представить в виде функции от факторов рыночного риска. Однако на практике такой подход оказывается весьма трудоемким: нахождение точных аналитических зависимостей для коэффициентов чувствительности с усложнением структуры портфеля становится чрезвычайно громоздкой задачей,

Брэди С. и Р.Кинг отмечают, что альтернативный подход предусматривает «разложение» исходного портфеля на упрощенную (в общем случае) совокупность так называемых «стандартных позиций» (standardized positions), каждая из которых является функцией лишь одного фактора риска и обладает такой же чувствительностью к изменениям доходности данного фактора риска, как и исходный портфель. Стоимость такого портфеля будет складываться из стоимостей стандартных позиций и не будет равна стоимости исходного портфеля:

? = ?х,*г.

i

Для каждой из полученных однофакторных позиций величину ее "индивидуальной» рисковой стоимости (individual VAR) можно рассчитать по формуле (40). Однако совокупный рыночный риск портфеля в общем случае не представляет собой механическую сумму рис

ков составляющих его позиций из-за несовершенных (отличных от |) корреляций между ценами входящих в него инструментов. В связи с этим возможны два различных способа расчета величины VAR портфеля, приводящие, тем не менее, к одному и тому же результату; или через промежуточные показатели VAR отдельных позиций, или через дисперсию изменений стоимости портфеля /42,С.200/.

Первый способ является двухступенчатым: сначала рассчитываются индивидуальные риски по каждой позиции в отдельности, которые затем суммируются с учетом корреляционных связей. Этот способ реализован в системе RiskMetrics; он позволяет получить картину риска как отдельных позиций, так и портфеля в целом. Соответствующая формула для расчета VAR портфеля имеет следующий вид:

VaR = ^\VaRTd^VaR,, (48)

где VAR — вектор-столбец индивидуальных рисков позиций;

О — корреляционная матрица доходностей факторов риска.

Второй способ предполагает вычисление дисперсии абсолютных или относительных изменений стоимости портфеля, что дает возможность непосредственно рассчитать величину его рисковой стоимости. Используя предыдущие обозначения, можно представить изменение стоимости портфеля, состоящего из п однофакторных стандартных иоэиций, в следующем виде:

ЛГ ~ {dXy ldr)Ar, + (dX, /dr^Ar, +... + (dX„ idrn)Ar„. (49)

Очевидно, что для обеспечения эквивалентности обоих портфелей (в смысле их чувствительности к изменениям факторов риска:

AV * АК) стандартные позиции должны быть такими, чтобы коэффициенты при Art в разложениях (42) и (49) были равны. Тогда мы

можем выразить изменение стоимости портфеля стандартных позиций как через доходности факторов риска, так и через доходности стандартных позиций:

Д V »{r^dX^ Idf\)Дг, /г, + (r2dX:!drS)A>\ / г, +...+

+ (rl:dXJdr„)Arn/r„, <50)

Д V * ЛГ,(+ Л>г(Лг3 /г2) +... + Хпа„ (Лг /г )

Отсюда можно непосредственно рассчитать дисперсию абсолютных изменений стоимости портфеля стандартных позиций аналогично (46), оценив предварительно ожидаемую изменчивость выбранных факторов риска, выражающуюся как в их индивидуальной волатильности (стандартные отклонения доходности), так и в их совместной динамике (коэффициенты корреляции). Наконец, можно определить величину VAR одним из следующих способов:

FaR =kt_„\jsT ? 5 = к{_а (52)

где S — вектор-столбец чувствительностей изменений стоимости стандартных позиций к изменениям доходности факторов риска, элементами которого являются выражения в скобках из (50);

X — вектор'столбец текущих стоимостей стандартных позиций;

? ~ ковариационная матрица изменений доходностей стандартных позиций, элементами которой являются дисперсии и ковариации выражений с,-из (50).

Заметим, что X = АУЛ. где А — диагональная матрица, элементами которой являются коэффициенты я, из той же формулы (51)-

Ковариационный метод: PRO ЕТ CONTRA

Главным преимуществом ковариационного метода является его концептуальная и вычислительная простота. Изменение стоимости портфеля в этом методе представляется в виде линейной комбинации доходностей факторов риска, имеющих нормальное распределение:

ЛК — К,5Дг. Такой подход позволяет рассчитывать показатель VAR на

основе только текущей стоимости портфеля и оценок изменчивости доходности факторов риска, что особенно удобно для больших диверсифицированных портфелей, подверженных многим различным факторам риска, С точки зрения скорости вычислений это выгодно отличает ковариационный метод от методов стохастического моделирования (методы Монте-Карло и исторического моделирования), в которых производится полная переоценка портфеля (full revaluation) по большому числу гипотетических сценариев изменения факторов

риска: М' = У1+1 — V, Такой подход более оправдан с точки зрения теории, но требует значительно большей вычислительной мощности и затрат времени. В настоящее время только ковариационный метод позволяет рассчитывать показатель VAR в режиме времени, близком к реальному для торговых портфелей крупных финансовых институтов. Наконец, ковариационный метод позволяет легко анализировать «вклады» отдельных инструментов в общий риск портфеля и оценивать чувствительность показателя VAR к изменениям размеров позиций /43/.

Недостатки ковариационного метода хорошо известны и являются продолжением его достоинств. Существенно ограничивает применимость данного метода невыполнение основополагающей посылки о нормальном распределении доходностей факторов риска. Реальные распределения изменений цен обычно характеризуются значительным эксцессом

— более «толстыми» хвостами и «острыми» вершинами по сравнению с нормальным распределением. В рамках ковариационного метода эта проблема может быть решена, в частности, путем подбора другого распределения (например, распределений Стъюдента, Лапласа, Вейбулла, смеси нормальных распределений и т.д.), которое более точно аппроксимирует эмпирически наблюдаемые распределения цен.

Другим серьезным недостатком является низкая точность оценки VAR для инструментов с нелинейными ценовыми характеристиками, в первую очередь опционов. Это связано с тем, что показатель «дельта» для таких инструментов не является стабильной величиной: его значение может меняться в зависимости от величины фактора риска, а в общем случае также и от направления изменения стоимости базового актива: А(+ ) * А(-). В целях снижения погрешности при оценке рисков таких инструментов прибегают к аппроксимации с использованием членов ряда Тейлора второго порядка на основе коэффициентов «гамма». Такой метод носит название «дельта-гамма-нормальный». В то же время для оценки рисков производных инструментов сложных портфелей обычно применяют метод Монте-Карло, который позволяет моделировать любые распределения вероятностей и учитывать нелинейные зависимости, что обеспечивает наивысшую точность расчета показателя VAR/44,С.5-20/.

<< | >>
Источник: Абдрахманова Г.Т.. Хеджирование: концепция, стратегия и практика. 2003

Еще по теме Особенности и способы риска портфеля при хеджировании опционами:

  1. Опцион как инструмент хеджирования
  2. Основы хеджирования опционов по Блэку-Шоулсу’
  3. Стратегии хеджирования модельного фондового портфеля
  4. Страхование кредитного риска при ипотечном жилищном кредитовании: цели, особенности, проблемы и направления развития
  5. Факторы, влияющие на степень риска при заключении договора страхования. Увеличение степени риска
  6. Особенности управления отдельными сегментами кредитного портфеля
  7. Способы снижения риска
  8. Способы снижения степени риска
  9. Обзор способов управления портфелем обыкновенных акций
  10. Страхование как способ регулирования риска
  11. Особенности интегральной оценки риска реальных инвестиционных проектов